Mythe
Il existe des noms de domaine gratuits.
Réalité
FAUX
Explications
Il n'existe pas de domaine gratuit.

Si vous avez un nom de domaine, vous l'avez obligatoirement payé, sans quoi il ne vous appartient pas.

Si vous avez un soit-disant "nom de domaine" en .new.fr, .ifrance.com ou encore free.fr, ce n'est pas un nom de domaine.

Il existe, en revanche, des hébergeurs gratuits.

Attention: certains registry (gestionnaires de TLD) "offrent" des domaines soit-disants gratuits (tels que .tk), mais c'est bien souvent en contrepartie d'une publicité obligatoire, et sous certaines conditions (par exemple, vous perdez votre domaine si votre site n'a pas assez de traffic). Avec ces domaines gratuits, vous n'êtes pas propriétaires du domaine et vous pouvez le perdre à tout moment.

D'ailleurs, la preuve: les utilisateurs du redirecteur gratuit ULimit s'en mordent maintenant les doigts.
Alors, comment faire ?

Soit vous prenez le risque de prendre un nom de domaine gratuit, avec le risque de le perdre à tout moment
Soit vous l'achetez et cela ne vous coûtera que la somme de 12 E par an environ, soit environ un euro par mois !
http://www.gandi.net
Autres
Tout est là :
Sebsauvage : Comment ça marche les noms de domaine ? (regarder "important à savoir")