Si j'ai bien compris ton problème, c'est que quoiqu'il arrive, ton script affiche toujours la partie de la page pour entrer les identifiants et mot de passe c'est ça ?

Si c'est bien ça ton problème, il vient du fait que quoiqu'il arrive, ton if ($donnees['password']== $mot_de_passe AND $donnees['prenom']== $prenom AND $donnees['nom']== $nom ) sera forcement faux à un moment ou l'autre... et donc il affichera la page de login.

Je pense qu'en modifiant ta requête, tu régleras le problème (et tu accéléreras la vitesse d'exécution) :
$requete = "SELECT nom, prenom, password FROM visteurs WHERE nom='$nom' AND prenom='$prenom' AND password='$motdepasse'";
Puis tu exécutes ta requête, tu ne fais qu'un seul fetch pour récupérer les données et si ton tableau est non-vide alors, ça veut dire que ces identifiants étaient contenues dans la table et tu peux donner accès à ta page cachée...

J'espère avoir pu t'aider...
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Au commencement, nous sommes tous des noobs...